Phép tịnh tiến và phép dời hình

     
Phép tịnh tiến – Phép dời hình

1. Phép tịnh tiến

1.1. Phép tịnh tiến là gì?

Trong phương diện phẳng, đến vector $ vecv, $ phép tịnh tiến theo vector $ vecv $ là 1 trong phép trở thành hình thay đổi mỗi điểm $ M $ thành điểm $ M’ $ vừa lòng < overrightarrowMM’ = vecv. >

*

Ví dụ.

Bạn đang xem: Phép tịnh tiến và phép dời hình

mang lại tam giác ABC, dựng hình ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ $overrightarrowBC$.

Giả sử qua phép tịnh tiến theo $overrightarrowBC$, điểm $A$ trở thành điểm $D$ thì điểm $D$ buộc phải thỏa mãn: $$overrightarrowAD = overrightarrowBC$$ Nghĩa là điểm $D$ phải ở chỗ như trong hình mẫu vẽ (chính là đỉnh của hình bình hành $ABCD$).

*

Tương từ bỏ ta dựng lấy điểm $E$ là hình ảnh của $C$ qua phép tịnh tiến kia ($E$ thuộc con đường thẳng $BC$ sao để cho $C$ là trung điểm $BE$).Hiển nhiên ảnh của $B$ qua phép tịnh tiến theo $overrightarrowBC$ là $C$.

Tóm lại, hình ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $overrightarrowBC$ là tam giác $DCE$ như bên trên hình vẽ.

1.2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

Điểm $M"(x’,y’)$ được gọi là hình ảnh của điểm $ M(x,y) $ qua phép tịnh tiến theo vectơ $vecv=(a,b)$ khi và chỉ khi $$ overrightarrowMM’=vecvLeftrightarrow left{ eginarrayl x’=x+a \ y’=y+b endarray ight.$$

Kí hiệu: $ M’= extT_vecv(M). $

1.3. Tính chất của phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến gồm tính chất:

Biến nhì điểm $ M,N $ thành $ M’,N’ $ thì $ M’N’=MN. $

*

Biến cha điểm thẳng sản phẩm thành ba điểm thẳng sản phẩm và giữ nguyên thứ tự giữa những điểm.

*

Do đó, phép tịnh tiến biến chuyển đường trực tiếp thành mặt đường thẳng tuy nhiên song hoặc trùng cùng với nó, biến hóa đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng bởi nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, đổi mới đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

*

2. Phép dời hình

Định nghĩa. Phép dời hình là phép thay đổi hình ko làm thay đổi khoảng bí quyết giữa nhì điểm bất kì.

Ví dụ. Phép tịnh tiến lầ một phép dời hình.

Tính hóa học của phép dời hình

Phép dời hình biến:

Đường thẳng thành con đường thẳng, đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng bằng nó, tia thành tia.Ba điểm thẳng hàng thành cha điểm thẳng sản phẩm và không thay đổi thứ tự giữa các điểm.Đường tròn thành con đường tròn cùng bán kính.Góc thành góc bằng nó.Tam giác thành tam giác bởi nó.

3. Các dạng toán phép tịnh tiến, phép dời hình

3.1. Xác minh toạ độ ảnh của phép tịnh tiến

Phương pháp. họ sử dụng biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

Cho vectơ $vecv=(a,b)$ thì $ M’= extT_vecv(M) $ khi còn chỉ khi $$ overrightarrowMM’=vecvLeftrightarrow left{ eginarrayl x’=x+a \ y’=y+b endarray ight.$$

Ví dụ 1. 

Cho những điểm $ A(-1,2),B(0,1),C(3,-1) $ và vector $ vecv=(-2,3). $ Tìm hình ảnh của các điểm trên qua phép tịnh tiến theo $ vecv.$Viết phương trình con đường thẳng $ d’ $, là hình ảnh của mặt đường thẳng $d : 2x + 3y – 1 = 0 $ qua phép tịnh tiến theo vector $veca=(3,1)$.

Hướng dẫn. 

Gọi $ A"(x’;y’)$ là hình ảnh của $A$ qua $ extT_vecv $ thì ta có $$ overrightarrowAA’=vecvLeftrightarrow left{ eginarrayl x’=-1-2 \ y’=2+3 endarray ight.$$ xuất xắc $ A"(-3;5)$. Làm tương tự được đáp số $B"(-2,4),C"(1,2)$.Gọi $d’$ là ảnh của mặt đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $veca$.Theo đặc điểm thì $d’$ tuy nhiên song hoặc trùng cùng với $d$ nên bao gồm phương trình dạng $d’: 2x+3y+c=0$.Tiếp theo, ta mang một điểm bất kể thuộc $d$, mang sử là $M(2;-1)$ thì ảnh của nó là $M’$ nên thuộc vào đường thẳng $d’$. Thuận tiện tìm được $M"(5;0)$. Thế toạ độ $M’$ vào phương trình $d’$ tìm được $c= -10$.Suy ra phương trình con đường thẳng cần tìm là $d’:2x+3y-10=0$.

Cách khác. bao gồm $d’$ là hình ảnh của mặt đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $veca$. Với điểm $M(x;y)$ điểm bất kỳ thuộc mặt đường thẳng $d$, qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $veca$ biến thành điểm $M"(x’;y’)$ thì điểm ( M’ ) phải thỏa mãn nhu cầu hai điều kiện:

Điểm ( M’ ) thuộc con đường thẳng $d’$;Toạ độ của ( M’ (x’;y’)) vừa lòng ( x’=x+ 3, y’=y+1).

Từ ( x’=x+ 3, y’=y+1) suy ra ( x=x’-3, y=y’-1 ) tuyệt toạ độ điểm $M(x’-3;y’-1)$. Nhưng mà $M$ thuộc con đường thẳng $d$ tất cả phương trình $2x + 3y – 1 = 0$ đề xuất thay vào ta được $$ 2(x’-3)+3(y’-1)-1=0 $$ $$Leftrightarrow 2x’+3y’-10=0 $$ hay phương trình con đường thẳng $d’$ bắt buộc tìm đó là $2x+3y-10=0$.

Lưu ý: Khi tính toán ta sử dụng kí hiệu $ x’,y’ $ để tìm mối quan hệ giữa những thành phần tọa độ $ x’,y’ $ của một điểm $ M’, $ còn tóm lại về tập hợp các điểm $ M’ $ thì buộc phải dùng kí hiệu $ x,y. $

Ví dụ 2. Viết phương trình hình ảnh $ (C’) $ của mặt đường tròn $left( C ight):x^2+y^2-2x+4y-4=0$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $veca=(-2;1)$.

Đáp số. $(C’):x^2+y^2+2x+2y-7=0.$

Ví dụ 3. Cho đường thẳng $ d:2x-3y+1=0 $ và đường tròn $ (C):(x-3)^2+(y+2)^2=1.$ Tìm hình ảnh của con đường thẳng $ d$ và mặt đường tròn $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ vecv(-2,4). $

Đáp số. $ d’: 2x-3y+17=0$, $(C’):(x-1)^2+(y-2)^2=1. $

Ví dụ 4. Cho con đường thẳng $ Delta $ giảm hai trục $ Ox,Oy $ tại $ A(-1,0) $ và $ B(0,2). $ Hãy tìm ảnh $ Delta’ $ của $ Delta $ qua phép tịnh tiến theo $ vecu(2,-1). $

Đáp số. $ Delta’:2x-y-3=0. $

Ví dụ 5. Cho hàm số $ y=cos x $ có đồ thị là $ (C) $. Viết phương trình ảnh $ (C’) $ của $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ vecv(fracpi2,0) $.

Hướng dẫn. Điểm $ M(x,y)in (C) $ qua phép tịnh tiến theo $vecv $ biến thành $ M"(x’,y’) $ khi và chỉ khi $$ egincases x’=x+fracpi2 \y’=y endcases Leftrightarrow egincases x=x’-fracpi2 \y=y’ endcases $$ Suy ra toạ độ điểm $Mleft(x’-fracpi2;y’ ight)$.Ta bao gồm $ M$ thuộc đồ vật thị $ (C):y=cos x $ khi và chỉ còn khi $y’=cos(x’-fracpi2) Leftrightarrow y’=sin x’$.

Như vậy, ta luôn có $y’=sin x’$ giỏi $ M’ $ thuộc đồ dùng thị hàm số $ y=sin x $.Vậy vật thị của hàm số $ y=cos x $ qua phép tịnh tiến theo $ vecv $ thì trở thành đồ thị của hàm số $ y=sin x. $

Ví dụ 6. Qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ vecv(-1,3) $ thì đường thẳng $ Delta $ trở thành đường trực tiếp $ Delta’:2x-5y+6=0. $ Hãy tìm kiếm phương trình của con đường thẳng $Delta$.

Đáp số $ Delta: 2x-5y-11=0. $

3.2. Xác định phép tịnh tiến

Phương pháp. chúng ta cần đã cho thấy được véc-tơ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm ( A(1;2) ) cùng điểm ( B(5;3) ). Xác định phép tịnh tiến trở thành điểm ( A ) thành điểm ( B ).Hướng dẫn.

Xem thêm: Câu Hỏi Về Phạm Trù Nguyên Nhân Kết Quả, Câu Hỏi Về Phạm Trù Nguyên Nhân Và Kết Quả

đó là phép tịnh tiến theo véc-tơ ( overrightarrowAB(4;1) ).

Ví dụ 2. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, đến điểm ( A(1;2) ) và điểm ( B(5;3) ). Xác minh phép tịnh tiến trở nên điểm ( B ) thành điểm ( A ).Hướng dẫn. Phép tịnh tiến theo véc-tơ ( overrightarrowBA(-4;-1) ).

Ví dụ 3. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, mang lại hai parabol ( (P): y=x^2 ) cùng ( (Q):=x^2+2x+2 ). Tìm kiếm phép tịnh tiến đổi mới ( (P) ) thành ( (Q) ).

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn véc-tơ tịnh tiến là ( vecv(a;b) ). Lấy điểm ( M(x;y) ) bất kì thuộc parabol ( (P) ).

Qua phép tịnh tiến bắt buộc tìm, ( M ) trở thành ( M"(x’;y’) ) thuộc parabol ( (Q) ) thì ta bao gồm $$ egincases x’=x+a\y’=y+b endcases $$ mà lại ( M’ ) ở trong ( (Q) ) yêu cầu suy ra $$y+b (x+a)^2+2(x+a)+2 $$ Thu gọn gàng phương trình này ta được $$ y=x^2+2(a+1)x+a^2+2a+2-b $$ Phương trình này nên trùng cùng với phương trình của parabol ( (P) ) nên ta có $$ egincases 2(a+1)=0\ a^2+2a+2-b=0 endcases $$ Giải hệ này kiếm được ( a=-1;b=-1 ).Kết luận. Phép tịnh tiến phải tìm là phép tịnh tiến theo véc-tơ ( vecv(-1;-1) ).

3.3. Những bài toán dựng hình, chứng minh tính hóa học hình học

Ví dụ 1. mang lại tam giác $ ABC $ có giữa trung tâm $ G. $ Hãy dựng hình ảnh của điểm $ A, $ đoạn thẳng $ AB $ qua phép tịnh tiến $ extT_overrightarrowGB $; ảnh của tam giác $ ABC $ qua phép tịnh tiến $ extT_2overrightarrowGA? $

Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ ABCD$ bao gồm hai điểm $ A,B $ cầm cố định, trọng điểm $ I $ của hình bình hành di động trên đường tròn $(C)$. Search quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$.

Hướng dẫn. call $ J $ là trung điểm cạnh $AB$ thì $ J $ thắt chặt và cố định và $ overrightarrowJB=overrightarrowIM. $ cho nên vì thế $ M $ là ảnh của điểm $ I $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ overrightarrowJB. $ Suy ra quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$ là hình ảnh của con đường tròn $(C)$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ overrightarrowJB. $

Ví dụ 3. mang đến hình bình hành $ABCD$ gồm đỉnh hai $ A, B $ cố định và thắt chặt và độ nhiều năm đoạn $ AC=a $ không đổi. Tìm kiếm quỹ tích đỉnh $ D $ khi $ C $ di động.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ extT_overrightarrowBA $ biến chuyển điểm $ Bmapsto A, Cmapsto D,Amapsto A’. $ nhưng mà $ C $ thuộc mặt đường tròn $ (A,a) $ nên $ D $ sẽ thuộc mặt đường tròn $ (A’,a) $ trong đó $ A’ $ là hình ảnh của $ A $ qua $ extT_overrightarrowBA $.

Ví dụ 4. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng con đường thẳng $ d$ song song với $ BC $ và cắt $ AB $ ở $ D, $ giảm $ AC $ ở $ E $ làm sao cho $ AD=CE. $

Hướng dẫn.

Phân tích. trả sử dựng được con đường thẳng $ d$ thỏa mãn yêu cầu. Xét phép tịnh tiến $ extT_overrightarrowED $ biến hóa điểm $ C $ thành điểm $ H. $ Suy ra $ DH=EC=AD $ xuất xắc tam giác $ ADH $ cân tại $ D. $ Như vậy, $ widehatDHA=widehatDAH $ cơ mà $ widehatDHA=widehatHAC $. Dẫn tới $ widehatDAH=widehatHAC $ tuyệt $ AD $ là phân giác góc $ widehatBAC .$Cách dựng.Dựng tia phân giác $ Ax $ của $ widehatBAC $ cắt $ BC $ tại $ H. $Qua $ H $ dựng đường thẳng song song với $ AC $ cắt $ AB $ trên $ D $.Qua $ D $ dựng đường thẳng $ d $ tuy nhiên song với $ BC $ cắt $ AC $ trên $ E. $Đường thẳng $ d $ là mặt đường thẳng phải dựng.Chứng minh.Biện luận. bài toán có một nghiệm hình.

Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng $ a,b $ cùng đoạn trực tiếp $ MN $ thế định. Hãy xác định điểm $ H $ trên tuyến đường thẳng $ a, $ điểm $ K $ trên đường thẳng $ b $ làm sao để cho tứ giác $ MNHK $ là 1 hình bình hành.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ extT_overrightarrowMN $ biến đổi đường thẳng $ b $ thành $ b’ $. Khi đó, ta có ba khả năng:

Nếu $ b’ $ và $ a $ giảm nhau thì giao điểm chính là điểm $ H $ cần tìm. Từ kia dựng được hình bình hành $ MNHK $. Việc có một nghiệm hình.Nếu $ b’ $ với $ a $ trùng nhau thì có thể lấy $ H $ là một điểm bất kỳ trên mặt đường thẳng $ a $. Từ kia dựng được hình bình hành $ MNHK $. Việc có rất nhiều nghiệm hình.Nếu $ b’ $ cùng $ a $ tuy nhiên song thì thiết yếu dựng được hình bình hành $ MNHK $ vừa lòng yêu cầu. Bài toán không có nghiệm hình.

Ví dụ 6. mang đến tam giác $ ABC $ cân tại $ C. $ nhị điểm $ M,N $ biến đổi $ Min CA,Nin CB $ làm sao để cho $ CM+CN=CA $. Chứng minh trung điểm $ I $ của $ MN $ điều khiển xe trên một mặt đường thẳng chũm định.

Hướng dẫn. Chúng ta sẽ đặc trưng hóa nhằm phát hiển thị quỹ tích của điểm $ I $. Khi $ M $ trùng $ C $ thì $ N $ đang trùng $ B $ cùng $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tương tự, khi $ M $ trùng $ A $ thì $ N $ trùng $ C $ cùng $ I $ là trung điểm của $ AC $. Vì chưng đó, ta dự đoán quỹ tích đã là đường trung bình của tam giác $CAB$.Để chứng tỏ điều trên, ta yêu cầu chỉ ra $ I $ là trung điểm của đoạn thẳng $ CE $ trong các số ấy $ E $ là một trong điểm bất cứ trong đoạn $ AB $. Thật vậy, xét phép tịnh tiến theo véc-tơ $ overrightarrowCM $ gồm $ Cmapsto M, Nmapsto E $ làm sao cho $ CMEN $ là hình bình hành. Chứng minh được điểm $ E $ phía bên trong đoạn $ AB $ và $ I $ là trung điểm của $ CE $. Bởi vậy $ I $ sẽ di động cầm tay trên đoạn thẳng vừa phải của tam giác $ CAB. $

Ví dụ 7. Hai thành phố $ A $ và $ B $ nằm ở hai phía của một loại sông. Hãy chọn một địa điểm để xây cầu bắc qua sông sao để cho quãng đường đi giữa hai tp là nhỏ tuổi nhất. Trả sử nhì bờ sông tuy vậy song cùng nhau và mong nằm vuông góc với những bờ sông.

Hướng dẫn. Tịnh tiến điểm $ B $ theo một véc-tơ được đặt theo hướng vuông góc với bên bờ sông và độ dài bởi chiều rộng của sông.

Ví dụ 8. Cho hình vuông $ ABCD, $ lấy $ E $ là vấn đề trong hình vuông vắn sao mang đến tam giác $ CDE $ cân nặng tại $ E $ cùng góc ở lòng là $ 15^circ $. Chứng minh tam giác $ ABE $ đều.

Xem thêm: Hình Ngũ Giác Đều Có Mấy Trục Đối Xứng Và Tâm Đối Xứng, Số Trục Đối Xứng Của Lục Giác Đều

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến theo $ overrightarrowAD $ biến hóa điểm $ E $ thành điểm $ F. $ Ta đi chứng tỏ $ Delta CDF $ đều.